Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y-2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B分别为椭圆C的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，直线AM与椭圆交于点P（与A点不重合），以MP为直径的圆交线段BP于点N，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （1）由以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y-2=0相切，求出$b=\sqrt{2}$，再由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出a=2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设M（2，t），则直线AM的方程为：$y=\frac{t}{4}（x+2）$，联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t}{4}（x+2）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，得$（1+\frac{t^2}{8}）{x^2}+\frac{t^2}{2}x+\frac{t^2}{2}-4=0$，由此利用韦达定理、直线斜率、圆的性质，结合已知条件能证明直线MN过定点．

解答 解：（1）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y-2=0相切．
∴原点到直线x-y-2=0的距离 $d=\frac{2}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\sqrt{2}$，
∴$b=\sqrt{2}$，
又椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
则$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴a=2，
∴椭圆C方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（5分）
证明：（2）设M（2，t），则直线AM的方程为：$y=\frac{t}{4}（x+2）$
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t}{4}（x+2）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y得，$（1+\frac{t^2}{8}）{x^2}+\frac{t^2}{2}x+\frac{t^2}{2}-4=0$…（7分）
${x_A}•{x_P}=\frac{{4{t^2}-32}}{{{t^2}+8}}$，则${x_P}=\frac{{16-2{t^2}}}{{{t^2}+8}}，{y_P}=\frac{t}{4}（{x_P}+2）=\frac{8t}{{{t^2}+8}}$
故${k_{PB}}=\frac{y_P}{{{x_P}-2}}=\frac{{\frac{8t}{{{t^2}+8}}}}{{\frac{{16-2{t^2}}}{{{t^2}+8}}-2}}=-\frac{2}{t}$…（9分）
又以MP为直径的圆上与线段BP交于点N，则MN⊥BP
故直线MN方程为$y-t=\frac{t}{2}（x-2）$，即$y=\frac{t}{2}x$，
直线MN过定点O（0，0）． …（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、韦达定理、直线性质的合理运用．