Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F₁（-

3

，0），过右焦点F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF₁F₂=30°，求该双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：根据题意知，在Rt△PF₁F₂中，∠PF₂F₁=90°，∠PF₁F₂=30°，若设PF₂=m，得F₁F₂=

3

m，PF₁=2m，又F₁F₂=2

3

，利用直角三角形勾股定理可解得m=2，再根据双曲线的定义求出a及b的值，从而得出所求双曲线的标准方程．

解答：解：由题意在Rt△PF₁F₂中∠PF₂F₁=90°，又∠PF₁F₂=30°，
则设PF₂=m，得F₁F₂=

3

m，PF₁=2m，又F₁F₂=2

3

，
则解得m=2，
所以2a=PF₁-PF₂=2，
所以b²=c²-a²=2，
则所求双曲线的标准方程为x²-

y2

2

=1．

点评：本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线的标准方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键．