Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=20，S₃=36，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n，及其前n项和S_n；
（Ⅱ）求证：

1

S1-1

+

1

S2-1

+…+

1

Sn-1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求出首项和公差，直接代入等差数列的通项公式和前n项和公式；
（Ⅱ）把前n项和代入后利用裂项相消法对不等式的左边求和，然后放缩证明不等式．

解答：（Ⅰ）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₃=20，S₃=36，得

a1+2d=20 3a1+3d=36

，解得

a1=4 d=8

．
∴a_n=4+8（n-1）=8n-4
Sn=4n+

8n(n-1)

2

=4n2．
（Ⅱ）证明：∵

1

Sn-1

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴

1

S1-1

+

1

S2-1

+…+

1

Sn-1

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和，考查了列项相消法求数列的和，是中档题．