Question

已知α∈R，f（x）=（x²-2）（x-a）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）若f′（1）=0．求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若|a|＜

5

2

，求证：当x∈（-∞，-2）和x∈（-2，+∞）时，f（x）都是单调增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求f（x）的导函数f′（x）方法用求导法则直接求出即可；
（Ⅱ）由f′（1）=0确定出a的值，令导函数f′（x）=0求出稳定点，在[-1，2]区间内讨论增减性确定最值即可； （Ⅲ）f′（x）与零的大小决定此函数的增减性，所以主要是判断f′（x）是否大于或小于零得到即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²-2x+2a
∴f'（x）=3x²-2ax-2
（Ⅱ）由f′(1)=0，得a=

1

2

，则f（x）=（x²-2）（x-

1

2

），f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
令f′（x）=0解得x=1或x=-

2

3

当x在区间[-1，2]上变化时，y′，y的变化情况如下表：

又f(-

2

3

)=

49

27

，f(1)=-

1

2

∴f（x）在区间[-1，2]的最大值为f（2）=3，最小值为f(1)=-

1

2

．
（Ⅲ）证明：∵f′(x)=3x2-2ax-2=3(x-

1

3

a)2-

6+a2

3

，
又|a|＜

5

2

，

|a|

3

＜

5

6

＜1，∴-1＜

a

3

＜1，
∴当x∈（-∞，-2）和（2，+∞）时，f'（x）＞f'（2）或f'（x）＞f'（-2）．
∵|a|＜

5

2

，∴f′(2)=4(

5

2

-a)＞0，f′(-2)=4(

5

2

+a)＞0
∴f（x）在x∈（-∞，-2）和（2，+∞）上都是增函数．

点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值方法，函数单调性的判断即证明，导数的计算．