Question

若四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD（如图），且PA=2

3

．
（1）求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）要求两条异面直线所成的角，需要通过直线的平移，把两条异面直线放到有公共点的位置，本题通过正方形对边平行，得到异面直线所成的角，在直角三角形中解出结果．
（2）要求四棱锥的体积，这种问题比较简单，比求三棱锥的体积要简单，只要看出四棱锥的高线，求出底面，本题的底面是一个正方形，高线条件中给出，利用公式得到结果．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PDA的大小即为异面直线PD与BC所成角的大小．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，由PA=2

3

，AD=2，
∴tan∠PDA=

3

，
∴∠PAD=60°，
故异面直线PD与BC所成角的大小为60°．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA是四棱锥的高，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD•PA=

1

3

×22×2

3

=

8 3

3

．
答：（1）异面直线PD与BC所成角的大小为60°，
（2）四棱锥的体积是

8 3

3

点评：本题考查异面直线所成的角，本题可以作为一道解答题目出现，考查的知识点比较简单，若出现一定是一个送分题目．