Question

（2012•河南模拟）四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为

1：4

．

Answer 1

分析：根据几何体的结构特征，可以先求出三棱锥N-ABC与四棱锥P-ABCD的体积比，两者面积之比为2：1，高之比为2：1．

解答：解：如图，设O为正方形ABCD中心，连接NO，由于N为PB中点，所以PD∥NO，
∵PD⊥底面ABCD，∴NO⊥底面ABCD，设PD=h，正方形ABCD面积为S，
则V_P-ABCD=

1

3

Sh，
V_N-ABC=

1

3

×

1

2

S×

1

2

h=

1

12

Sh，V_P-ADC=

1

3

×

1

2

S×h=

1

6

Sh，
∴V _P-ANC=V_P-ABCD-V_N-ABC-V_P-ADC=

1

3

Sh-

1

12

Sh-

1

6

Sh=

1

12

Sh，
∴V _P-ANC：V_P-ABCD=

1

12

Sh：

1

3

Sh=1：4．
故答案为：1：4．

点评：本题考查空间几何体的体积度量、间接法解决问题．化不规则几何体为规则几何体，化不熟悉为熟悉间接求解，也是解决空间几何体体积的重要方法．