Question

如图，已知三棱台ABC-A₁B₁C₁，等边三角形AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a．
（1）求点A到面B₁BCC₁的距离；
（2）求二面角A-B₁B-C的余弦值；
（3）设

AM

=

2

5

AB

，|MA₁|=x，|CC₁|=y，试将y表示为x的函数．

Answer 1

分析：（1）由题意因为面AB₁C⊥面ABC，所以B₁D⊥ABC，利用三棱锥的体积可以进行定点进行轮换的方法求解点到面的距离；
（2）由题意过D作DE∥BC，以D为原点，DE、DC、DB₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，先设出两个半平面的法向量的坐标，并利用法向量的定义解出坐标，在利用平面法向量的夹角求出二面角；
（3）设B₁C₁=m，则A₁C₁=2m，有上两问写出一些点的坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离．

解答：解：（1）作B₁D⊥AC，垂足为D，因为面AB₁C⊥面ABC，
所以B₁D⊥ABC，因为∠ACB=90^o所以BC⊥AB₁C．设A到面B₁BCC₁的距离为h，由VB1-ABC=VA-B1BC，
即

1

3

×

1

2

×AC×BC×B1D=

1

3

×

1

2

×BC×B1C×h，解得h=

3

a．
（2）过D作DE∥BC，以D为原点，DE、DC、DB₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-a，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、B1(0，0，

3

a)，设平面AB₁B的一个法向量为

n1

=(p，q，r)，则

n1 • AB =ap+2aq=0 n1 • AB1 =2q+ 3 ar=0

，取r=1得

n1

=(2

3

，-

3

，1)，同理，平面B₁BC的一个法向量

n2

=(0，

3

，1)，
所以二面角A-B₁B-C的余弦值为cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

1

4

．
（3）设B₁C₁=m，则A₁C₁=2m，A1(-m，-2m，

3

a)，C1(-m，0，

3

a)，由

AM

=

2

5

AB

得M(

2

5

a，-

1

5

a，0)，根据空间两点的距离公式，x=

16 5 a2+5m2

，y=

m2+4a2

，
所以y=

x2 5 + 84a2 25

．

点评：（1）是等体积法求点到平面的距离；（2）是在一个非长方体中建立空间直角坐标系求二面角的余弦值；（3）是确定一些空间点的坐标，求空间两点的距离．