Question

（2013•临沂三模）F₁，F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，P为双曲线右支上一点，直线F₁P与圆x²+y²=a²切于一点E，且

EF1

+

EP

=0，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  2

• B．

  5

• C．

  10

• D．5

Answer 1

分析：连结PF₂、OE，根据三角形中位线定理，算出|PF₂|=2|OE|=2a．由圆的切线性质，得到OE⊥PF₁，结合OE∥PF₂得PF₂⊥PF₁．然后在△PF₁F₂中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c=

5

a，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．

解答：解：连结PF₂、OE，
∵OE是△PF₁F₂的中位线，
∴OE∥PF₂，且|PF₂|=2|OE|=2a
∵直线F₁P与圆x²+y²=a²切于一点E
∴OE⊥PF₁，可得PF₂⊥PF₁，
△PF₁F₂中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，…①
∵根据双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a
∴|PF₁|=|PF₂|+2a=4a，代入①得（4a）²+（2a）²=|F₁F₂|²，
∴（2c）²=|F₁F₂|²=20a²，解之得c=

5

a
由此可得双曲线的离心率为e=

c

a

=

5 a

a

=

5

故选：B

点评：本题给出双曲线的一条焦半径与以实轴长为直径的圆相切，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，三角形中位线定理和勾股定理等知识，属于中档题．