题目内容
在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足
•
=3，其中
=（2x+3，y），
=（2x--3，3y）．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=
，求直线l的方程．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=
| 16 |
| 5 |
考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算,待定系数法求直线方程
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用点P（x，y）满足
•
=3，可求点P的轨迹方程；
（2）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出k，即可求出直线的方程．
| a |
| b |
（2）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出k，即可求出直线的方程．
解答：
解：（1）由题意，
•
=（2x+3）（2x-3）+3y2=3，
可化为4x2+3y2=12，即：
+
=1；
∴点P的轨迹方程为
+
=1；
（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；
②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx-9=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴|AB|=
•|x1-x2|=
=
，
∴k=±
，
∴直线l的方程y=±
x+1．
| a |
| b |
可化为4x2+3y2=12，即：
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 3 |
∴点P的轨迹方程为
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 3 |
（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；
②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx-9=0，
∴x1+x2=
| -6k |
| 4+3k2 |
| -9 |
| 4+3k2 |
∴|AB|=
| 1+k2 |
| 12(1+k2) |
| 4+3k2 |
| 16 |
| 5 |
∴k=±
| ||
| 3 |
∴直线l的方程y=±
| ||
| 3 |
点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=2cosx（x∈[-π，π]）的图象大致为（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（ ）
| A、1 | ||
B、
| ||
| C、2 | ||
D、
|