Question

19．已知M为抛物线y²=8x上的一点，F为抛物线的焦点，若∠MFO=120°，N（-2，0）（O为坐标原点），则△MNF的面积为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，做出相应的图形，过M作ME⊥x轴，根据题意设出EF=a，则有MF=2a，表示出ME，由OF+EF表示出OE，进而表示出M坐标，代入抛物线解析式求出a的值，确定出ME的长，即可求出三角形MFN的面积．

解答 解：如图所示，做出相应的图形，过M作ME⊥x轴，
由抛物线y²=8x，得到p=4，即F（2，0），
∵∠MFO=120°，∴∠MFE=60°，
在Rt△MEF中，∠FME=30°，
设EF=a（a＞0），则有MF=2a，ME=$\sqrt{3}$a，
∴OE=OF+EF=a+2，即M（a+2，$\sqrt{3}$a），
代入抛物线解析式得：3a²-8a-16=0，即（3a+4）（a-4）=0，
解得：a=-$\frac{4}{3}$（舍去）或a=4，
∴ME=4$\sqrt{3}$，
∵NF=4，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
故答案为：8$\sqrt{3}$

点评 此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．