Question

7．已知a、b、c都是正数，若a+b+c=1，求证：$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}{b}$+$\frac{1-c}{c}$≥6．

Answer 1

分析 由a、b、c都是正数，a+b+c=1，得到$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}{b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）运用二元均值不等式即可得证

解答 证明：∵a、b、c都是正数，a+b+c=1，
∴$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}{b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}{b}$+$\frac{a+b}{c}$=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{b}{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}{b}•\frac{b}{c}}$=6，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式，以及不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．