Question

函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）的最小正周期为

 

，单调减区间为

 

．

Answer 1

分析：把f（x）解析式中第二项的角度x+

π

4

变为

π

2

+（x-

π

4

）后，利用诱导公式变形，再根据二倍角的正弦函数公式化简，第一项利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再根据两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的周期；由正弦函数的单调递减区间及化简后的角度列出x的范围，求出x的范围即可得到f（x）的递减区间．

解答：解：函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin[

π

2

+（x-

π

4

）]
=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

2

）
=cos（2x-

π

3

）-cos2x
=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
由正弦函数的单调减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
得到2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
则函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．
故答案为：π；[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z

点评：此题考查了三角函数的周期及其求法，三角函数的恒等变形以及正弦函数的单调性，其中利用三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．