Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线都与圆C：x²+y²-10x+9=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程是（　　）

• A．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• B．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• C．

  x2

  10

  -

  y2

  15

  =1
• D．

  x2

  15

  -

  y2

  10

  =1

Answer 1

分析：求出圆C的圆心和半径，可得双曲线的一个焦点为C（5，0），a²+b²=25．再根据渐近线都与圆C相切，
可得

|5b±0|

a2+b2

=4，由此求得得 b² 和 a²的值，可得双曲线的方程．

解答：解：圆C：x²+y²-10x+9=0 即 （x-5）²+y²=16，表示以C（5，0）为圆心，半径等于4的圆．
故双曲线的一个焦点为C（5，0），∴a²+b²=25．
再由

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0) 的渐近线为 y=±

b

a

x，即 bx±ay=0，
而且渐近线都与圆C：x²+y²-10x+9=0相切，可得

|5b±0|

a2+b2

=4．
解得 b²=16，a²=9，故双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1．
故选B．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用以及双曲线的简单性质，属于中档题．