Question

已知函数f（x）=（x-k）e^x，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[0，1]上的最小值为关于k 的函数g（k），求g（k）的解析式；
（3）判断g（k）的单调性．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，令f′（x）=0，得x=k-1．由此能求出f（x）的单调区间．
（2）当k-1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）_min=f（0）=-k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k-1]上递减，（k-1，1]上递增，f(x)min=f(k-1)=-ek-1；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）_min=f（1）=（1-k）e．由此能求出g（k）．
（3）当k≤1时，g（k）=-k，是减函数；当1＜k≤2时，g（k）=-e^k-1，是减函数；当k＞2时，g（k）=（1-k）e，是减函数．由此知g（k）在（-∞，+∞）内单调递减．

解答：解：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，令f′（x）=0，得x=k-1；
所以f（x）在（-∞，k-1）上递减，在（k-1，+∞）上递增；
（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，所以f（x）_min=f（0）=-k；
当0＜k-1≤1，即1＜k≤2时，由（I）知，函数f（x）在区间[0，k-1]上递减，（k-1，1]上递增，所以f(x)min=f(k-1)=-ek-1；
当k-1＞1，即k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，所以f（x）_min=f（1）=（1-k）e．
综上g（k）=

-k，k≤1 -ek-1，1＜k≤2 (1-k)e，k＞2

．
（3）当k≤1时，g（k）=-k，是减函数；
当1＜k≤2时，g（k）=-e^k-1，是减函数；
当k＞2时，g（k）=（1-k）e，是减函数．
∴g（k）在（-∞，+∞）内单调递减．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查函数单调区间的求法、函数解析式的求法和函数单调性的判断．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．