Question

3．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．
（Ⅰ）求tanB及边长a的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由acosB=3，bsinA=4，两式相除，结合正弦定理可求$tanB=\frac{4}{3}$，又acosB=3，可得cosB＞0，从而可求cosB，即可解得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinB=\frac{4}{5}$，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB=3，bsinA=4，
两式相除，有$\frac{3}{4}=\frac{acosB}{bsinA}=\frac{a}{sinA}•\frac{cosB}{b}=\frac{b}{sinB}•\frac{cosB}{b}=\frac{1}{tanB}$，
所以$tanB=\frac{4}{3}$，
又acosB=3，
故cosB＞0，则$cosB=\frac{3}{5}$，
所以a=5．              　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinB=\frac{4}{5}$，
由$S=\frac{1}{2}acsinB$，得到c=5．
由b²=a²+c²-2accosB，得$b=2\sqrt{5}$，
故$l=5+5+2\sqrt{5}=10+2\sqrt{5}$，
即△ABC的周长为$10+2\sqrt{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．