Question

8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F是线段B₁D上的两个动点，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则下列结论错误的是（　　）

• A． AC⊥BF
• B． 直线AE、BF所成的角为定值
• C． EF∥平面ABC
• D． 三棱锥A-BEF的体积为定值

Answer 1

分析 通过直线AC垂直平面平面BB₁D₁D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB₁，AD₁，判断A₁C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．

解答 解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B₁D₁DB，又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE，故A正确；
∵当点E在D₁处，F为D₁B₁的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C₁的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE₁B，显然两个角不相等，B不正确；
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，∴EF∥平面ABCD，故C正确；
∵由于点B到直线B₁D₁的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故V_A-BEF为定值．D正确；
故选B．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．