Question

集合A＝{x|x²－3x＋2＝0}，B＝{x|x²－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x²－mx＋2＝0}，已知A∪B＝A，A∩C＝C，求a，m之值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本题应用韦达定理去解． 　　解答　　∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}． 　　B中必有元素1(二次方程系数为0)． 　　又∵A∪B＝A，∴BA，这时B有两种可能： 　　B＝{1}；B＝{1，2}． 　　若B＝{1}，则B中的方程有两个相等的根， 　　Δ＝a2－4(a－1)＝0， 　　∴a＝2． 　　若B＝{1，2}，则依韦达定理，有a－1＝2，∴a＝3． 　　又∵A∩C＝C，∴CA，因此集合C有三种可能： 　　(1)C＝A，此时m＝3； 　　(2)C＝{1}或C＝{2}，将x＝1或x＝2代入x2－mx＋2＝0，得m＝3，但此时方程有两个相等的实根，Δ＝0，得m＝±2，此为矛盾； 　　(3)C＝，Δ＝m2－8＜0，－2＜m＜2． 　　综上所求a的值为2，3；所求m的值为3，或为一个范围(－2，2)． 　　评析　　(1)重视集合中的转化关系 　　A∪B＝ABA，A∩C＝CCA．其中AB包含A＝，AB，A＝B三种情形． 　　(2)要重视空集的特殊性，空集是一个特殊的重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 　　本题易忽略“空集是任何集合的子集”这一重要性质，而不考虑B＝的情况．