Question

四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，且平面ABB′A′⊥平面ABCD，点E是A′A的中心．
（1）求证：平面A′AC⊥平面BDE；
（2）求三棱锥A′-CDE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）欲证平面A′AC⊥平面BDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BDE内一直线与平面A′AC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知BD⊥平面A'AC，而BD?平面BDE，满足定理所需条件．
（2）S△A′DE=

1

2

S△A′AD，CD⊥平面A′AD，且CD=a，由此利用VA′-CDE=VC-A′DE，能求出三棱锥A′-CDE的体积．

解答： （1）证明：∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵平面ABB′A′⊥平面ABCD，AA′AD，
∴AA′⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA′⊥BD，
∴BD⊥平面A′AC，而BD?平面BDE，
∴平面A′AC⊥平面BDE．
（2）解：∵四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，
∴△A′AD是等腰直角三角形，AA′=AD=a，∠A′AD=90°，
∴S△A′DE=

1

2

S△A′AD=

1

2

×

1

2

a2=

1

4

a2，
∵CD⊥AD，AA′⊥平面ABCD，∴CD⊥AA′，
又AA′∩AD=A，∴CD⊥平面A′AD，且CD=a，
∴三棱锥A′-CDE的体积：
VA′-CDE=VC-A′DE=

1

3

×a×

1

4

a2=

a3

12

．

点评：本题主要考查面面垂直的证明，考查三棱锥A′-CDE的体积的求法，同时考查了空间想象能力、计算能力、转化与划归的思想，属于中档题．