Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁CC₁⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点，E为BC₁的中点
（1）求证：OE∥平面A₁AB；
（2）求二面角A-A₁B-C₁的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O为坐标原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出OE的方向向量，和平面A₁AB的法向量，根据两个向量垂直得到线面平行．
（2）求平面A₁BC₁的法向量，根据二面角A-A₁B-C₁的正弦值，即为两个平面的法向量夹角的正弦值，由向量夹角公式求得答案．
解答：证明：（1）∵A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
∴A₁O⊥AC．
又侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，其交线为AC，且A₁O∈平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥底面ABC．…..（2分）
以O为坐标原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得：O（0，0，0），A（0，-1，0），，C（0，1，0），，B（1，0，0），．则有：，，．
设平面AA₁B的一个法向量为，…..（4分）
则有{，即{，
令y=1，得，
所以．
又知，…..（6分）
∴
∴OE∥平面A₁AB．…..（7分）
解：（2）．设平面A₁BC₁的一个法向量为，
又知，
由 {得  {
可得…..（9分）
则，…..（11分）
所以二面角A-A₁B-C₁的正弦值为．…..（12分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的平面角的求法，其中建立空间坐标系，将空间线面关系转化为向量关系是解答的关键．