Question

已知等差数列{

an

n

}满足a₁=1，a₃=6，若对任意的n∈N^*，数列{b_n}满足b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
（1）求a_n，b_n
（2）设S_n=（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，n∈N*，证明：对任意的n∈N*，|Sn|＞

1

2

bn．

Answer 1

（1）设数列{

an

n

}的公差d，依题意该数列的第一项为

a1

1

=1，第三项为

a3

3

=2，
∴2=1+（3-1）d，d=

1

2

．
∴

an

n

=1+(n-1)×

1

2

，
∴an=

1

2

n(n+1)，
∵b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
∴b_n•b_n+1=4a_n+1²，
∴b_n•b_n+1=（n+2）²（n+1）²，
∴

bn

(n+1)2

•

bn+1

(n+1+1)2

=1，n∈N^*．
令cn=

bn

(n+1)2

，
则c_nc_n+1=1，∴cn+1=

1

cn

，且c_n≠0．
∵c1=

b1

4

=

4

4

=1，
∴cn=

1

cn-1

=cn-2=

1

cn-3

=…=c2=

1

c1

=1，
∴cn=

bn

(n+1)2

=1，
∴b_n=（n+1）²．
（2）当n是偶数时，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²
=5+9+13+…+（2n+1）
=

n2+3n

2

．
∴|Sn| -

1

2

bn=

n2+3n

2

-

n2+2n+1

2

=

n-1

2

＞0，
∴|Sn| ＞

1

2

bn．
当n是奇数时，
S_n=（-1）•b₁+（-1）²•b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-8²+…+n²-（n+1）²
=5+9+13+…+（2n-1）-（n+1）²
=

-n2-3n-4

2

∴|Sn| -

1

2

bn=

n2+3n+4

2

-

n2+2n+1

2

═

n+3

2

＞0，
∴|Sn| ＞

1

2

bn．
综上所述，对任意的n∈N^*，|Sn|＞

1

2

bn．