Question

如图，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），M是BB₁的中点，N是AC的中点；
（Ⅰ）求证：BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）若BA=BC，求证：平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC₁的中点P，连接NP，则NP为△ACC₁的中位线，易证四边形MBNP为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）利用等腰三角形的性质易证MP⊥AC₁，BN⊥AC；而BN∥MP，从而MP⊥AC；再利用线面垂直的判定定理即可证得MP⊥平面ACC₁A₁，继而得证平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（Ⅰ）取AC₁的中点P，连接NP，则NP为△ACC₁的中位线，
∴NP

∥

.

1

2

CC₁，M是BB₁的中点，连接MP，则MB

∥

.

NP，
∴四边形MBNP为平行四边形，
∴BN∥MP，MP?平面AMC₁，BN?，
∴BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）∵BA=BC，N是AC的中点，
∴BN⊥AC，而BN∥MP，
∴MP⊥AC，①
∵BB₁⊥底面ABC，M是BB₁的中点，
∴MA=MC₁，又点P为AC₁的中点，
∴MP⊥AC₁，②
AC∩AC₁=A③
∴MP⊥平面ACC₁A₁，
又MP?平面AMC₁，
∴平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，证得MP⊥平面ACC₁A₁是关键，考查空间想象能力与推理证明能力，属于中档题．