Question

如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：在△ABP中，由余弦定理算出AP=

7

，再用正弦定理算出sin∠APB=

3 21

14

，由同角三角函数的基本关系得cos∠APB=-

7

14

，进而算出sin∠CPD=sin（120°-∠APB）=

21

14

，cos∠CPD=

5 7

14

．然后在△PCD中算出sin∠PDC=sin（∠CPD+∠C）=

3 21

14

，利用正弦定理列式，即可算出CD的长．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴B=60°
在△ABP中，AB=3，BP=1，根据余弦定理，得
AP²=AB²+BP²-2AB•BPcosB=9+1-2×3×1×cos60°=7，可得AP=

7

根据正弦定理，得

AB

sin∠APB

=

AP

sinB

，即

3

sin∠APB

=

7

sin60°

，解得sin∠APB=

3 21

14

∵△ABP中，AP²+BP²＜AB²，得∠APB是钝角
∴cos∠APB=-

1-sin2∠APB

=-

7

14

△PCD中，∠CPD=180°-∠APB-∠APD=120°-∠APB
∴sin∠CPD=sin（120°-∠APB）=sin120°cos∠APB-cos120°sin∠APB=

3

2

×（-

7

14

）+

1

2

×

3 21

14

=

21

14

cos∠CPD=

1-sin2∠CPD

=

5 7

14

因此，△PCD中，sin∠PDC=sin（∠CPD+∠C）=sin∠CPDcosC+cos∠CPDsinC=

21

14

×

1

2

+

5 7

14

×

3

2

=

3 21

14

由正弦定理，得

PC

sin∠PDC

=

CD

sin∠CPD

，
即

2

3 21 14

=

CD

21 14

，解之得CD=

2

3

故选：B

点评：本题给出边长为3的等边三角形ABC的边BC的一个三等分点P，在已知∠APD=60°的情况下求CD的长．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角恒等变换和利用正余弦之理解三角形的知识，属于中档题．