Question

5．样本（x₁，x₂，…，x_m）的平均数$\stackrel{\overline{x}}{\;}$，样本（y₁，y₂，…，y_n）的平均数为$\overline{y}$（$\overline{x}$≠$\overline{y}$）．若样本（x₁，x₂，…，x_m，y₁，y₂，…，y_n）的平均数$\overline{z}$=a$\overline{x}$+（1-a）$\overline{y}$，其中0＜a≤$\frac{1}{2}$，则m，n的大小关系为（　　）

• A． m＜n
• B． m≤n
• C． m＞n
• D． m≥n

Answer 1

分析 由0$＜a≤\frac{1}{2}$，知1-a≥a，求出样本（x₁，x₂，…，x_m，y₁，y₂，…，y_n）的平均数$\overline{z}$=a$\overline{x}$+（1-a）$\overline{y}$=$\frac{m\overline{x}+n\overline{y}}{m+n}$=$\frac{m}{m+n}\overline{x}$+$\frac{n}{m+n}\overline{y}$，得到$\frac{n}{m+n}≥\frac{m}{m+n}$，由此能求出结果．

解答 解：∵0$＜a≤\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}≤1-a＜1$，∴1-a≥a，
∵本（x₁，x₂，…，x_m）的平均数$\overline{x}$，样本（y₁，y₂，…，y_n）的平均数为$\overline{y}$（$\overline{x}$≠$\overline{y}$）．
∴样本（x₁，x₂，…，x_m，y₁，y₂，…，y_n）的平均数：
$\overline{z}$=a$\overline{x}$+（1-a）$\overline{y}$=$\frac{m\overline{x}+n\overline{y}}{m+n}$=$\frac{m}{m+n}\overline{x}$+$\frac{n}{m+n}\overline{y}$，
∴a=$\frac{m}{m+n}$，1-a=$\frac{n}{m+n}$，
∴$\frac{n}{m+n}≥\frac{m}{m+n}$，∴m≤n．
故选：B．

点评 本题考查两个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数性质的合理运用．