题目内容

已知数列{a_n}满足如图所示的流程图
（Ⅰ）写出数列{a_n}的一个递推关系式；
（Ⅱ）证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列 $数学公式$ 的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）依题意，a₁=a₂=1，a_n+2=5a_n+1-6a_n；
（Ⅱ）令a_n+2-ma_n+1=p（a_n+1-ma_n），则 $\text{[math]}$ ，
解得m=3，p=2或m=2，p=3．
取m=3，p=2，则 $\text{[math]}$ =2，又a₂-3a₁=1-3=-2，
∴{a_n+1-3a_n}是以-2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=（-2）•2^n-1=-2ⁿ．
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]=- $\text{[math]}$ ×2[1- $\text{[math]}$ ]=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴a_n=2ⁿ-3^n-1．
（Ⅲ）∵a_n=2ⁿ-3^n-1，
∴a_n+3^n-1=2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹= $\text{[math]}$ -n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）依题意，由程序框图即可写出数列{a_n}的一个递推关系式；a₁=a₂=1，
（Ⅱ）令a_n+2-ma_n+1=p（a_n+1-a_n），依题意可求得m=3，p=2，利用等比数列的定义可证：{a_n+1-3a_n}是等比数列；利用累加法可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_n=2ⁿ-3^n-1，利用错位相减法即可求得T_n．
点评：本题考查数列求和，着重考查等比关系的确定，突出考查累加法与错位相减法求和，考查转化思想与创新能力，求{a_n}的通项公式是难点，属于难题．