Question

已知函数f(x)=

x2+c

ax+b

为奇函数，f（1）=-3，且对任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立．
（1）求b的值；
（2）求证f（2）=0，并求f（x）解析式；
（3）若对任意t∈（1，2]，恒有f（tm）+f（-m-1-t²）＜0，求正数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即

x2+c

-ax+b

=-

x2+c

ax+b

恒成立，
可得b=0（2分）
（2）∵π≤x≤2π，
∴-1≤sinx≤0，-1≤cosx≤1，
∴-2≤sinx-1≤-1，2≤cosx+3≤4
又∵f（sinx-1）≥0，f（cosx+3）≥0恒成立，
∴f（-2）≥0且f（2）≥0，
∵f（x）是奇函数，
∴由f（-2）≥0可得f（2）≤0，
∴f（2）=0（6分）
∴由f(2)=

4+c

2a

=0，及f(1)=

1+c

a

=-3，得c=-4，a=1，
∴f(x)=

x2-4

x

（8分）
（3）∵f（x）是奇函数得f（tm）＜f（t²+m+1），
又∵f(x)=

x2-4

x

=x-

4

x

在（0，+∞）是增函数，m＞0，t＞0，
∴tm＞0，m+1+t²＞0∴tm＜t²+m+1，∴（t-1）m＜t²+1，（10分）
∵t∈（1，2]∴t-1＞0，
∴m＜

t2+1

t-1

在t∈（1，2]上恒成立
设k=t-1，则k∈（0，1]且t²+1=k²++2k+2，设g(k)=

k2+2k+2

k

=k+

2

k

+2，
则g（k）在k∈（0，1]上单调递减，
∴g（k）_min=g（1）=5，∴m＜5，
又m＞0，所以0＜m＜5（12分）