Question

14．已知边长为1的正方形ABCD中，以A为始点，其余顶点为终点的向量记为$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，以C为始点，其余顶点为终点的向量记为$\overrightarrow{{b}_{1}}$，$\overrightarrow{{b}_{2}}$，$\overrightarrow{{b}_{3}}$，若i≠j，m≠n（i，j，m，n∈{1，2，3}），则（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$）的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． -4
• D． -5

Answer 1

分析 由向量的几何意义知（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）与（$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$）两两互为相反向量．故|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|和|$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$|取得最大值时，（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$）取得最小值．

解答 解：由向量的几何意义可知$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$与$\overrightarrow{{b}_{1}}$，$\overrightarrow{{b}_{2}}$，$\overrightarrow{{b}_{3}}$两两成相反向量，故$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$与$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$两两成相反向量，
故当（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）与（$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$）互为相反向量且|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|取得最大值时，（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$）取得最小值．
以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|的最大值为|AE|，
由余弦定理得|AE|=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}-2AC•CE•cos135°}$=$\sqrt{5}$．
∴（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{b}_{m}}$+$\overrightarrow{{b}_{n}}$）的最小值为-|AE|²=-5．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，找出各向量的关系是关键．