Question

等腰△ABC的底边AB=6

6

，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．
（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积，求V（x）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即证EF⊥PE，利用EF⊥AB，可得结论；
（Ⅱ）证明PE为四棱锥P-ACFE的高，求出的面积，即可得到四棱锥P-ACFE的体积．

解答：（Ⅰ）证明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，
∵EF⊥AB．AB∩PE=E，∴EF⊥平面PAE．…（6分）
（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P-ACFE的高．
由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴

BE

BD

=

EF

CD

，
由题意知

x

3 6

=

EF

3

∴EF=

6

6

x．…（9分）
∴SACFE=S△ABC-S△BEF=

1

2

×6

6

×3-

1

2

×

6

6

x2=9

6

-

6

12

x2．
∵PE=EB=x，
∴V(x)=

1

3

SACFE•PE=3

6

x-

6

36

x3，(0＜x＜3

6

)．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查四棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定，正确计算体积是关键．