Question

设数列{b_n}满足b_n＋2＝－b_n＋1－b_n(n∈N^*)，b₂＝2b₁.

(1)若b₃＝3，求b₁的值；

(2)求证数列{b_nb_n＋1b_n＋2＋n}是等差数列；

(3)设数列{T_n}满足：T_n＋1＝T_nb_n＋1(n∈N^*)，且T₁＝b₁＝－，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁＋T₂＋T₃＋…＋T_n＜q成立，试求q－p的最小值．

Answer 1

 (1)解　∵b_n＋2＝－b_n＋1－b_n，

∴b₃＝－b₂－b₁＝－3b₁＝3，

∴b₁＝－1；(3分)

(2)证明　∵b_n＋2＝－b_n＋1－b_n①，

∴b_n＋3＝－b_n＋2－b_n＋1②，

②－①得b_n＋3＝b_n，(5分)

∴(b_n＋1b_n＋2b_n＋3＋n＋1)－(b_nb_n＋1b_n＋2＋n)＝b_n＋1b_n＋2(b_n＋3－b_n)＋1＝1为常数，

∴数列{b_nb_n＋1b_n＋2＋n}是等差数列．(7分)

(3)解　∵T_n＋1＝T_n·b_n＋1＝T_n－1b_nb_n＋1＝T_n－2b_n－1b_nb_n＋1＝…＝b₁b₂b₃…b_n＋1

当n≥2时T_n＝b₁b₂b₂…b_n(*)，

当n＝1时，T₁＝b₁适合(*)式

∴T_n＝b₁b₂b₃…b_n(n∈N^*)．(9分)

∵b₁＝－，b₂＝2b₁＝－1，

b₃＝－3b₁＝，b_n＋3＝b_n，

∴T₁＝b₁＝－，T₂＝T₁b₂＝，

T₃＝T₂b₃＝，T₄＝T₃b₄＝T₃b₁＝T₁，

T₅＝T₄b₅＝T₂b₃b₄b₅＝T₂b₁b₂b₃＝T₂，

T₆＝T₅b₆＝T₃b₄b₅b₆＝T₃b₁b₂b₃＝T₃，

……

T_3n＋1＋T_3n＋2＋T_3n＋3＝T_3n－2b_3n－1b_3nb_3n＋1＋

T_3n－1b_3nb_3n＋1b_3n＋2＋T_3nb_3n＋1b_3n＋2b_3n＋3

＝T_3n－2b₁b₂b₃＋T_3n－1b₁b₂b₃＋T_3nb₁b₂b₃

＝(T_3n－2＋T_3n－1＋T_3n)，

∴数列{T_3n－2＋T_3n－1＋T_3n)(n∈N^*)是等比数列，

首项T₁＋T₂＋T₃＝且公比q＝，(11分)

记S_n＝T₁＋T₂＋T₃＋…＋T_n，

①当n＝3k(k∈N^*)时，

S_n＝(T₁＋T₂＋T₃)＋(T₄＋T₅＋T₆)…＋(T_3k－2＋T_3k－1＋T_3k)

∴≤S_n＜3；(13分)

②当n＝3k－1(k∈N^*)时

S_n＝(T₁＋T₂＋T₃)＋(T₄＋T₅＋T₆)＋…＋(T_3k－2＋T_3k－1＋T_3k)－T_3k

＝3－(b₁b₂b₃)^k＝3－4·

∴0≤S_n＜3；(14分)

③当n＝3k－2(k∈N^*)时

S_n＝(T₁＋T₂＋T₃)＋(T₄＋T₅＋T₆)＋…＋(T_3k－2＋T_3k－1＋T_3k)－T_3k－1－T_3k

＝3－(b₁b₂b₃)^k－1b₁b₂－(b₁b₂b₃)^k

＝3－

＝3－

∴－≤S_n＜3.(15分)

综上得－≤S_n＜3则p≤－且q≥3，