题目内容

已知实数x，y满足x²+y²-4x+1=0，则 $数学公式$ 的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析： $\text{[math]}$ 可看作点（x，y）与原点连线的斜率，所以问题转化为求圆上一点与原点连线中斜率最大值的问题．
解答：

解：圆的圆心坐标（2，0）半径为 $\text{[math]}$ ，如图：
设 $\text{[math]}$ =k，则y=kx，
所以k为过原点与圆x²+y²-4x+1=0上的点连线的斜率．
由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值，
圆的半径为 $\text{[math]}$ ，圆心到原点的距离为2，
所以k=tan60°= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：考查 $\text{[math]}$ 的几何意义，类似于本题中这样的分式形式求最值时一般都转化为求直线的斜率来解决．