Question

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O，将正方形ABCD沿对角线折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求平面ABC与平面BCD夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由勾股定理得AO⊥CO，由正方形性质得AO⊥BD，由此能证明AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量和平面BCD的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面BCD的夹角的余弦值．

解答： 解：（1）证明：在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=

2

2

，
∴AC²=AO²+CO²，AO⊥CO，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知AO⊥平面BCD，则OC、OA、OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0，

2

2

），C（

2

2

，0，0），
B（0，-

2

2

，0），D（0，

2

2

，0），

AC

=（

2

2

，0，-

2

2

），

BC

=（

2

2

，

2

2

，0），
设平面ABC的一个法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BC = 2 2 x+ 2 2 y=0 n • AC = 2 2 x- 2 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），

OA

=（0，0，

2

2

）是平面BCD的一个法向量，
从而cos＜

n

，

OA

＞=

n • OA

| n |•| OA |

=

3

3

，
∴平面ABC与平面BCD的夹角的余弦值为

3

3

．

点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．