Question

由曲线x²=2y，x²=-2y，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₁；满足x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₂，试写出V₁与V₂的一个关系式    ．

Answer 1

【答案】分析：由于旋转体的体积为V₁由曲线x²=2y，x²=-2y，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积的分割法可知体积；而旋转体的体积为：x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，利用体积分割法可以求得 ，进而可得关系式V₁与V₂的大小关系
解答：解：因为旋转体的体积为V₁由曲线x²=2y，x²=-2y，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，
利用体积的分割法可知 则．
又旋转体的体积为V_2：x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体，即：，
所以可得关系式V₁＜V₂．
故答案为：V₁＜V₂．
点评：此题考查了球体的体积公式，圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．