Question

1．函数f（x）=4lnx+bx²图象上点x=1处的切线方程2x-y+3=0平行．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[$\frac{1}{e}$，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得f′（x），求得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得b，进而得到f（x）的解析式；
（2）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间；
（3）利用导数的运算法则可得g′（x），求出单调区间，要满足条件，则g（x）_max＞0，g（$\frac{1}{e}$）≤0，g（2）≤0，解不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4lnx+bx²，
∴f′（x）=$\frac{4}{x}$+2bx，
∵f（x）的图象上点x=1处的切线方程2x-y+3=0平行，
∴4+2b=2，解得b=-1，
即有f（x）=4lnx-x²；
（2）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴由（1）有f′（x）=$\frac{4}{x}$-2x，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$；
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$．
∴函数f（x）的单调增区间是（0，$\sqrt{2}$）；单调减区间是（$\sqrt{2}$，+∞）；
（3）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞4），
∴g′（x）=$\frac{4}{x}$-2x=-$\frac{-2（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$．
∴当$\frac{1}{e}$＜x＜$\sqrt{2}$时，g′（x）＞0，g（x）递增；
$\sqrt{2}$＜x＜2时g′（x）＜0，g（x）递减．
可得函数的大致图象：
由图象可知：要使方程g（x）=0在[$\frac{1}{e}$，2]上恰有两解，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{g（\frac{1}{e}）≤0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤4+2ln2+\frac{1}{{e}^{2}}}\\{m≤4-2ln2}\end{array}\right.$，
解得2＜m≤4-2ln2，
∴实数m的取值范围是（2，4-2ln2]．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义等是解题的关键．