Question

9．如图，在三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F分别是AC，AD上的动点．且$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1）．
（1）求证：不论λ取何值，总有EF∥平面BCD；
（2）求证：不论λ取何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（3）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出不论λ为何值，恒有EF∥CD．，由此能证明不论λ取何值，总有EF∥平面BCD．
（2）推导出AB⊥CD，从而CD⊥平面ABC，进而EF⊥平面ABC，由此能证明不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
（3）推导出BE⊥AC，求出AC，AE，从而得到当λ=$\frac{6}{7}$时，平面BEF⊥平面ACD．

解答 证明：（1）∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1），
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD．
∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴不论λ取何值，总有EF∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．
∵CD⊥BC，且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．
∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1），
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF．
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
解：（3）由（2）知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD．∴BE⊥AC．
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$tan60°=$\sqrt{6}$．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
由AB²=AE•AC，得AE=$\frac{6}{\sqrt{7}}$．
∴λ=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{6}{7}$，．
故当λ=$\frac{6}{7}$时，平面BEF⊥平面ACD．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足面面垂直的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．