题目内容
11、对于四面体ABCD，下列命题正确的是
①相对棱AB与CD所在直线是异面直线；②若AB⊥CD，BC⊥AD，则AC⊥BD；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
①②③
（写出所有正确命题）．①相对棱AB与CD所在直线是异面直线；②若AB⊥CD，BC⊥AD，则AC⊥BD；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
分析：通过反证、证明、即构造模型，逐一检验答案的正确性，从而得到答案．
解答：解：①假设相对棱AB与CD所在直线不是异面直线，则有A、B、C、D四点共面，这与四面体ABCD矛盾，故假设不对，∴①正确．
②设A在面BCD内的射影为H，∵AB⊥CD，BH是AB在面BCD内的射影，∴BH⊥CD； 同理可证DH⊥BC，∴H是三角形BCD的垂心，
∴CH⊥BD，而CH是AC在面BCD内的射影，∴AC⊥BD，故②正确；
③2条对棱中点的连线是平行四边形的2条对角线，以为平行四边形的2条对角线交与一点，故③正确．
故答案为①②③
②设A在面BCD内的射影为H，∵AB⊥CD，BH是AB在面BCD内的射影，∴BH⊥CD； 同理可证DH⊥BC，∴H是三角形BCD的垂心，
∴CH⊥BD，而CH是AC在面BCD内的射影，∴AC⊥BD，故②正确；
③2条对棱中点的连线是平行四边形的2条对角线，以为平行四边形的2条对角线交与一点，故③正确．
故答案为①②③
点评：本题考查异面直线的判定、棱锥的结构特征．
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