Question

2．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．
（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？
（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？
（Ⅲ）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？

Answer 1

分析 （Ⅰ）用间接法，先分析从6个数中，任取4个组成4位数的情况数目，再计算其中包含0在首位的情况数目，计算可得答案；
（Ⅱ）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意
（Ⅲ）按四位数从小到大的顺序，先计算千位是1的四位数的数目，再计算千位是2，百位是0或1的四位数的数目，与85比较可得答案．

解答 解：（1）用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A₆⁴种情况，
但其中包含0在首位的有A₅³种情况，
依题意可得，有A₆⁴-A₅³=300个，
（Ⅱ）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意，
故有A₅¹C₅³A₂²=100个，
（Ⅲ）千位是1的四位数有A₅³=60个，
千位是2，百位是0或1的四位数有2A₄²=24个，
∴第85项是2301

点评 本题考查排列、组合的综合应用，涉及面较大，是高考的热点题目，平时要加强训练．