Question

15．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范围为[$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 利用三点共线得出1≤x+y≤2，作出平面区域，根据斜率的几何意义得出$\frac{y+1}{x+1}$的范围，从而得出$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范围．

解答 解：∵AB∥MN，2OA=OM，
∴AB是△OMN的中位线．
∴当P在线段AB上时，x+y=1，当P在线段MN上时，x+y=2，
∵终点P落在四边形ABNM内（含边界），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{1≤x+y≤2}\end{array}\right.$．
作出平面区域如图所示：

令k=$\frac{y+1}{x+1}$，则k表示平面区域内的点C（x，y）与点Q（-1，-1）的连线的斜率，
由可行域可知当（x，y）与B（2，0）重合时，k取得最小值$\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
当（x，y）与A（0，2）重合时，k取得最大值$\frac{2+1}{1}$=3，
∴$\frac{1}{3}$≤k≤3．
∵$\frac{y+x+2}{x+1}$=$\frac{y+1}{x+1}$+1=k+1，
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{y+x+2}{x+1}$≤4．
故答案为[$\frac{4}{3}$，4]．

点评 本题考查了平面向量的运算，线性规划的应用，属于中档题．