Question

（文）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．
（1）求证：；
（2）若|AB|=6，当∠C最大时，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）由题意可得 ，…（2分）
∴，4cos（A-B）=5cos（A+B），9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴． …（6分）
（2），
当且仅当时，tgC最大，即∠C最大…（9分）
此时△ABC是等腰三角形，且底边上的高，
则S_△ABC=3．…（12分）
分析：（1）根据|z|²=，利用两角和差的三角函数化简可得9sinA•sinB=cosA•cosB，从而得到．
（2）由（1）可得 ，利用基本不等式可得tgC≤-，求出tgC取最大值时△ABC
底边上的高，从而求得S_△ABC 的值．
点评：本题考查两角和差的三角函数，求复数的模的方法，基本不等式的应用，求出tgC的最大值，是解题的难点．