Question

7．已知函数f（x）满足f（-x）=f（x），当 a，b∈（-∞，0]时，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 函数f（x）满足f（-x）=f（x），可得f（x）的偶函数，当 a，b∈（-∞，0]时，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），可知f（x）在（-∞，0]是单调增函数．即可将f（m+1）＞f（2m）转化为等式求解．

解答 解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（-∞，0]是单调增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＜|2m|，
两边平方得：（m+1）²＜4m²，
解得：m＞1或m$＜-\frac{1}{3}$
所以实数m的取值范围是（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．
故答案为（-∞，$-\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性运用能力．属于基础题．