Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$，若B=$\frac{π}{6}$，BC边上中线AM=$\sqrt{7}$，则△ABC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化边为角可求得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而可得A，C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果．

解答 解：∵$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
∴由正弦定理，得$\frac{2sinB-\sqrt{3}sinC}{\sqrt{3}sinA}$=$\frac{cosC}{cosA}$，化简得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
又∵∠B=$\frac{π}{6}$，∴C=π-A-B=$\frac{2π}{3}$，
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM²=AC²+MC²-2AC•MCcos120°，
即7=b2+（$\frac{b}{2}$）2-2×b×$\frac{b}{2}$×cos120°，
解得b=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$b²sinC=$\frac{1}{2}$×${2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题．