题目内容

两个非零向量
OA
、
OB
不共线，且
OP
=m
OA
，
OQ
=n
OB
 (m，n＞0)
，直线PQ过△OAB的重心，则m，n满足（　　）
分析：利用向量的运算法则、向量共线定理及三角形的重心的性质即可得出．
解答：解：如图所示，设点G为△OAB的重心，D为AB边的中点．
则
OG
=
2
3
OD
=
2
3
×
1
2
(
OA
+
OB
)=
1
3
(
OA
+
OB
)．
∵
GQ
与
PG
共线，∴存在实数λ使得
GQ
=λ
PG
，
又∵
GQ
=
OQ
-
OG
，
PG
=
OG
-
OP
，
∴
OQ
-
OG
=λ(
OG
-
OP
)，
∵
OP
=m
OA
，
OQ
=n
OB
 (m，n＞0)
，
∴n
OB
-
1
3
(
OA
+
OB
)=λ[
1
3
(
OA
+
OB
)-m
OA
]，
整理为(
1+λ
3
-λm)
OA
+(
1+λ
3
-n)
OB
=
0
，
∵两个非零向量
OA
、
OB
不共线，∴
1+λ
3
-λm=0
1+λ
3
-n=0
，
消去λ化为
1
m
+
1
n
=3．
故选C．
点评：熟练掌握向量的运算法则、向量共线定理及三角形的重心的性质是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列命题正确的个数为（　　）
①斜线与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角．
②二面角α-l-β的平面角是过棱l上任一点O，分别在两个半平面内任意两条射线OA，OB所成角的∠AOB的最大角．
③如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直．
④设A是空间一点，
n
为空间任一非零向量，适合条件的集合{
M
|
AM
•
n
=0}的所有点M构成的图形是过点A且与
n
垂直的一个平面．
（2012•卢湾区一模）已知
a
、
b
是两个不共线的非零向量．
（1）设
OA
=
a
，
OB
=t
b
（t∈R），
OC
=
1
3
(
a
+
b
)，当A、B、C三点共线时，求t的值．
（2）如图，若
a
=
OD
，
b
=
OE
，
a
与
b
夹角为120°，|
a
|=|
b
|=1，点P是以O为圆心的圆弧
DE
上一动点，设
OP
=x
OD
+y
OE
（x，y∈R），求x+y的最大值．
已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量
OA
， 
OB
满足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
2
5
5
时，求p的值．
已知任意两个非零向量
a
、
b
，若平面内O、A、B、C四点满足
OA
=
a
+
b
，
OB
=
a
+2
b
，
OC
=
a
+3
b
．请判断A、B、C三点之间的位置关系并说明理由．

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