题目内容
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．今年暑假我校学生公寓建造了可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元．学生公寓每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．设f（x）为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）我校做到了使总费用f（x）达到最小，请你计算学生公寓隔热层修建的厚度和总费用的最小值．
【答案】分析：（1）根据不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．我们可得C（0）=10，得k=30，进而得到C（x）的解析式，建造费用为C1（x）=4x，则根据隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为f（x），从而得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
解答：解：（1）由题意，当x=0，C（x）=10，代入C（x）=
，得k=30．…（3分）
所以f（x）=4x+15C（x）=4x+
（0≤x≤10）…（6分）
（2）f（x）=4x+
=4x+6+
-6
=2（2x+3）+
-6≥2
-6=54…（10分）
等号成立当且仅当2（2x+3）=
即x=6．…（12分）
因此隔热层修建6 cm时，总费用f（x）达到最小，最小值为54元．…（13分）
f′（x）=4-
=
，当x=6时f′（x）=0…（14分）
点评：本题主要考查了函数模型的选择和应用，在解决函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，属于中档题．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
解答：解：（1）由题意，当x=0，C（x）=10，代入C（x）=
，得k=30．…（3分）所以f（x）=4x+15C（x）=4x+
（0≤x≤10）…（6分）（2）f（x）=4x+
=4x+6+-6=2（2x+3）+
-6≥2-6=54…（10分）等号成立当且仅当2（2x+3）=
即x=6．…（12分）因此隔热层修建6 cm时，总费用f（x）达到最小，最小值为54元．…（13分）
f′（x）=4-
=，当x=6时f′（x）=0…（14分）点评：本题主要考查了函数模型的选择和应用，在解决函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，属于中档题．
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