Question

7．若直线l：y=kx+1与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1交于M，N两点，且|MN|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 将直线代入椭圆方程，通过消元转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，利用弦长公式求直线的斜率，从而得直线方程．

解答 解：设直线l与椭圆的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
由消去y得消去y得（1+2k²）x²+4kx=0，
所以x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=0，由|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，得（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=$\frac{32}{9}$，
∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂），
∴（1+k²）（x₁-x₂）²=$\frac{32}{9}$，即（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{32}{9}$，
∴（1+k²）（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$），化简得k⁴+k²-2=0，
解得k²=1，∴k=±1，
∴所求直线l的方程是y=x+1或y=-x+1．

点评 本题主要考查直线与椭圆相交时，利用弦长公式求直线方程，综合性较强，运算量较大．