Question

7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，当PA+PC的值最小值时，点P的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

Answer 1

分析 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小根据已知条件得到AB=4，OA=4，△AOB是等腰直角三角形，
推出D在y轴上，过P作PE⊥OA于E，设PE=OE=x，于是得到CE=1-x，根据相似三角形的性质得到$\frac{CE}{OC}=\frac{PE}{OD}$，即$\frac{1-x}{1}=\frac{x}{4}$，求得PE=OE=$\frac{4}{5}$，于是得到结论．

解答 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（4，4），
∴AB=4，OA=4，
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=1，
∴∠AOB=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴AD=2AP=2PD=4$\sqrt{2}$，
∴∠OAP=45°，
∴D在y轴上，
∴OD=OA=4，
过P作PE⊥OA于E，
∴PE=OE，
设PE=OE=x，
∴CE=1-x，
∵PE∥OD，
∴△PCE∽△CDO，
∴$\frac{CE}{OC}=\frac{PE}{OD}$，即$\frac{1-x}{1}=\frac{x}{4}$，
∴x=$\frac{4}{5}$，
∴PE=OE=$\frac{4}{5}$，
∴P（$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
故答案为：（$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，三角形相似的判定和性质，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．