Question

14．如图，已知点A（x，y）满足$\sqrt{x-2}$+|y-2|=0．
（1）求A点坐标；
（2）B、C分别为y轴负半轴和x轴正半轴上两动点，当∠BAC为45°时，求OC+BC-OB的值；
（3）在（2）的基础上，AB=4，求BC与OB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由二次根式和绝对值的非负性质求出x=2，y=2，即可得出点A坐标；
（2）作AE⊥x轴于E，AD⊥y轴于D，由点A坐标得出AD=AE=2，在OD上截取DF=EC，连接AF，由SAS证明△ADF≌△AEC，得出AF=AC，∠DAF=∠EAC，证出∠FAC=∠DAE=90°，求出∠FAB=∠BAC，由SAS证明△FAB≌△CAB，得出∠FBA=∠CBA，BC=AF=OB+OF=OB+OD-DF=OB+2-EC，即可得出结果；
（3）证出∠DBA=30°，得出∠OBC=2×30°=60°，求出∠OCB=30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\sqrt{x-2}$+|y-2|=0．
∴x-2=0，y-2=0，
∴x=2，y=2，
∴A（2，2）；
（2）作AE⊥x轴于E，AD⊥y轴于D，如图所示：
则∠ADF=∠AEC=90°，
∵A（2，2），
∴AD=AE=2，
在OD上截取DF=EC，连接AF，
在△ADF和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}&{\;}\\{∠ADF=∠AEC}&{\;}\\{DF=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴AF=AC，∠DAF=∠EAC，
∴∠FAC=∠DAE=90°，
∴∠FAB=90°-∠BAC=90°-45°=45°=∠BAC，
在△FAB和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}&{\;}\\{∠FAB=∠CAB}&{\;}\\{AB=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△CAB（SAS），
∴∠FBA=∠CBA，BC=AF=OB+OF=OB+OD-DF=OB+2-EC，
∴OC+BC-OB=OE+EC+OB+2-EC-OB=2+2=4；
（3）BC=2OB，理由如下：
在Rt△BAD中，AB=2AD=4，
∴∠DBA=30°，
∴∠OBC=2×30°=60°，
∴∠OCB=90°-60°=30°，
∴BC=2OB．

点评 本题是三角形综合题目，考查了二次根式和绝对值的非负性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．