题目内容
10．
如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧$\widehat{AB}$向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为2$\sqrt{3}$$≤CD≤4\sqrt{3}$．
（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
分析 （1）如图1中，由题意可知CD=PC•tan60°，所以只要求出PC的最小值和最大值即可解决问题．
（2）如图2中，点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，
∵AB是直径，∠ABC=30°，AB=4
∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，
∵CD⊥PC，
∴∠PCD=90°，CD=PC•tan60°，
∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值为直径=4，
∴CD的最小值为2$\sqrt{3}$，最大值为4$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$≤CD≤4$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$≤CD≤4$\sqrt{3}$．
（2）如图2中，
∵在Rt△PCD中，∠PCD=90°，∠P=60°，
∴∠PDC=30°，
∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，
∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．连接CO′、BO′．
∵∠BO′C=2∠CDB=60°，O′C=O′B，
∴△O′BC是等边三角形，
∴BO′=BC=2$\sqrt{3}$，∠CBO′=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABO′=90°，
∴AO′=$\sqrt{A{B}^{2}+BO{′}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AD=AO′+O′D=2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
∴AD的最大值为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{7}$+2$\sqrt{3}$．
点评 本题考查圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，所以中考常考题型．
张先生准备在沙坪坝购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元/m2，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案：| A． | △＞M | B． | △=M | ||
| C． | △＜M | D． | 无法确定△与M的大小 |
如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求证：∠DAB=∠EAC．
长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是（ ）| A． | 2a2-πb2 | B． | 2a2-$\frac{π}{2}$b2 | C． | 2ab-πb2 | D． | 2ab-$\frac{π}{2}$b2 |
如图所示，△ABC≌△DEC，∠ACB=60°，∠BCD=100°，点A恰好落在线段ED上，则∠B的度数为（ ）| A． | 50° | B． | 60° | C． | 55° | D． | 65° |