Question

某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A、B两点间的距离时用了以下三种测量方法，如图1、2、3所示．图中a，b，c表示长度，β表示角度．

（1）请你求出AB的长度（用含有a，b，c，β字母的式子表示）．
①AB=

b2-a2

；②AB=

a•tanβ

；③AB=

ac

b

．
（2）请再给出一种测量池塘边上A、B两点间距离的方案，要求在图4中画出示意图，说明要测量的数据，再求出表示线段AB的表示式．

Answer 1

分析：（1）①由图可知AB、AC、BC正好构成直角三角形，故可直接用勾股定理解答；②由图可知AB、AC、BC正好构成直角三角形，β为已知角，故可直接用锐角三角函数的定义解答；③由图可知△EDC∽△ABC，故可用相似三角形的相似比解答；
（2）构造矩形利用矩形的性质即可求出AB的长．

解答：解：（1）①由勾股定理得，AB=

b2-a2

，
②∵tanβ=

a

AB

，∴AB=a•tanβ，
③由图可知△EDC∽△ABC，
∴DE：AB=CD：BC，
即c：AB=b：a，∴

ac

b

；
（2）如图4所示：四边形ABCD是矩形，则测量CD的长度即为AB的长，AB=CD=b．

点评：本题考查正确运用勾股定理．相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．