Question

2．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．
（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PCB；
（2）当△ACP∽△PDB时，试求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，根据外角的性质得到∠ACP=∠PDB=120°，然后根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠APC=∠PBD，根据外角的性质得到∠DPB+∠DBP=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）当CD²=AC•DB时，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵CD²=AC•DB，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{CD}$，即$\frac{PC}{BD}=\frac{AC}{PD}$，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠DBP=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．