Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），点E（4，0）
（1）求AB的长；
（2）过点E作x轴的垂线交AB于点P，过点P作y轴垂线于点F，求点P的坐标；
（3）动点M从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在直线BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点M，Q移动的时间为t秒，当t为何时，△AMQ与△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）利用A，B两点坐标得出AO，BO的长，再利用勾股定理求出AB的长；
（2）首先求出直线AB所在直线解析式，进而利用P点横坐标为4，得出纵坐标即可；
（3）若△AMQ与△AOB相似，则因为A与A对应，所以只有两种情况，M与O对应或者M与B对应分别求出即可．

解答：解：（1）∵A（0，6），点B（8，0），
∴OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=

62+82

=10；

（2）将点A（0，6），点B（8，0），代入y=kx+b，
则

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
则直线AB的解析式为：y=-

3

4

x+6，
∵点E（4，0），过点E作x轴的垂线交AB于点P，过点P作y轴垂线于点F，
∴P点横坐标为：4，
∴P点纵坐标为：y=-

3

4

×4+6=3，
∴点P的坐标为：（4，3）；

（3）如图1，当M与O对应，则△AMQ∽△AOB，
∴

AM

AO

=

AQ

AB

，
∵动点M从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，
同时动点Q从点B开始在直线BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，
∴AM=t，AQ=10-2t，
∴

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
如图2，当M与B对应，则△AMQ∽△ABO，
∴

AM

AB

=

AQ

AO

，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
综上所述：当t=

30

11

秒或

50

13

秒时，△AMQ与△AOB相似．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及勾股定理和相似三角形的性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．