Question

6．已知二次函数y=-x²+ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，∠ACB=90°，且tan∠BAC-tan∠ABC=2，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 可先求得点C的坐标，再别表示出tanα、tanβ的值，根据两者的等量关系及根与系数的关系即可求得a的值，从而确定二次函数的解析式．

解答 解：根据题意设点A（x₁，O）、点B（x₂，O），且C（O，b），
由题意得，x₁＜0，x₂＞0，b＞0，
∵x₁，x₂是方程-x²+ax+b=0的两根，
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b；
在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB，
∵OA=-x₁，OB=x₂，
∴b²=-x₁•x₂=b，
∵b＞0，
∴b=1，
∴C（0，1）．
在Rt△AOC和Rt△BOC中，
tan∠BAC-tan∠ABC=$\frac{OC}{OA}$-$\frac{OC}{OB}$=-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{a}{b}$=2，∴a=2，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+1．

点评 本题考查二次函数的综合运用，本题涉及到了直角三角形的性质、根与系数的关系、锐角三角形函数、二次函数解析式的确定，要灵活运用知识进行解答．