题目内容
如图，△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且BE=3AE，求| BC | CD |
分析：利用平行线判定相似三角形的方法得出△AEM∽△CFM，进而得出AE=FC，再利用平行线分线段成比例定理得出
=
求出即可．
| BC |
| CD |
| BE-FC |
| FC |
解答：
方法一：
证明：过点C作CF∥AB交ED于点F，
∵CF∥AB，
∴△AEM∽△CFM，
∵M是AC的中点，
∴
=
=1，
∴AE=FC，
∵BE=3AE，
∴
=
，
∵FC∥AB，
∴
=
=2；
方法二：
证明：过点M作MF∥AB交BC于点F，
∵MF∥AB，
∴△CMF∽△CAB，
∵M是AC的中点，
∴
=
=
，
∵BE=3AE，
∴
=
=
，
设BF=x，则FC=x，CD=x，
∴
=2；
方法三：
证明：过点E作EF∥AC交BC于点F，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵BE=3AE，
∴
=
=
=
，
∵M是AC的中点，
∴
=
，
∵MC∥EF，
∴
=
，
设FC=x，则BF=3x，CD=2x，
∴
=2；
方法四：
证明：过点E作EF∥BC交AC于点F，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵BE=3AE，
∴
=
=
=
，
∵M是AC的中点，
∴2AF=AM=MC，
2FM=MC，
∵EF∥CD，
∴△MFE∽△MCD，
∴
=
=
，
∴
=2．
方法一：证明：过点C作CF∥AB交ED于点F，
∵CF∥AB，
∴△AEM∽△CFM，
∵M是AC的中点，
∴
| AM |
| MC |
| FC |
| AE |
∴AE=FC，
∵BE=3AE，
∴
| CF |
| BE |
| 1 |
| 3 |
∵FC∥AB，
∴
| BC |
| CD |
| BE-FC |
| FC |
方法二：
证明：过点M作MF∥AB交BC于点F，
∵MF∥AB，
∴△CMF∽△CAB，
∵M是AC的中点，
∴
| FC |
| BC |
| FM |
| AB |
| 1 |
| 2 |
∵BE=3AE，
∴
| FM |
| BE |
| FD |
| BD |
| 2 |
| 3 |
设BF=x，则FC=x，CD=x，
∴
| BC |
| CD |
方法三：
证明：过点E作EF∥AC交BC于点F，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵BE=3AE，
∴
| BE |
| AB |
| EF |
| AC |
| BF |
| BC |
| 3 |
| 4 |
∵M是AC的中点，
∴
| CM |
| EF |
| 2 |
| 3 |
∵MC∥EF，
∴
| CD |
| FD |
| 2 |
| 3 |
设FC=x，则BF=3x，CD=2x，
∴
| BC |
| CD |
方法四：
证明：过点E作EF∥BC交AC于点F，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵BE=3AE，
∴
| EF |
| BC |
| AF |
| AC |
| AE |
| AB |
| 1 |
| 4 |
∵M是AC的中点，
∴2AF=AM=MC，
2FM=MC，
∵EF∥CD，
∴△MFE∽△MCD，
∴
| EF |
| CD |
| FM |
| MC |
| 1 |
| 2 |
∴
| BC |
| CD |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识，此题方法较多作出平行线利用相似得出是解题关键．
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